当我们学习微积分时，都是从微分（或者说导数）的定义开始。也就是说，先学微分，再学积分。然而，从前面几节追溯古希腊和古中国数学发展的历史来看，古代数学家就已经有了计算许多不同几何形状的面积和体积的方法。也就是说，古时候就已经有了积分的概念和初步方法。
因此，微分积分，在微积分的教学中，与微积分的历史发现过程中，次序是反过来的。前者是先微分后积分，后者是先有积分，后有微分。从人类思维的角度细究一下这个区别，也许对在教学中如何贯穿相应数学概念的发现历史有所帮助。
数学中常常看见正运算和逆运算的对立，例如，加和减、乘和除、平方和开方等等。我们学习了微积分后知道，微分和积分也是一对正运算和逆运算。但这个“正反”运算的对立，从直观上看起来并不是那么明显。从直觉来说，微分和积分都不是一下子就发明出来的。积分用于求体积面积等静态的物理量，微分用来求曲线斜率，即变化率等一类具有动感的物理量，两者似乎独立互不相关。就人类的认识过程而言，认识静态事物的物理规律远比认识动态事物容易。所以，从古代就有了计算复杂形状体积的要求，这些需求刺激如阿基米德、祖冲之之流的数学家们进行研究，从而产生了一些类似积分的方法。而对变化率计算的要求，基本上是在离阿基米德将近两千年之后的意大利物理学家伽利略（Galileo Galilei， 1564年－1642年）研究自由落体运动等力学规律的时候才开始产生。
用现代的眼光来看发现微积分的历史，可以分为3个阶段：
1. 极限概念；
2. 积分法求体积面积；
3. 发现微分积分互逆。
极限概念必须先行，这点在两个过程中是一样的。
通常认为最后一步（发现微分积分互逆）是被牛顿和莱布尼茨分别独立完成的，因此将发明微积分的功劳归于他们俩。但实际上从现代数学的观念来看，微分和积分作为互逆运算的本质，是被“微积分基本定理”所描述的。早在牛顿和莱布尼茨之前，对“微积分基本定理”，就已经有一个长长的研究历史。因此，为了更深入理解微分积分之间的联系，我们探索一下“微积分基本定理”发现的历史过程。从展示历史的线索，能让我们明白这个定理为何重要？以及隐藏于微积分概念背后的科学动机。
微积分基本定理包括两个部分：
第一部分表明不定积分是微分的逆运算，阐明了原函数的存在；
第二部分表明定积分可以用无穷多个原函数的任意一个来计算。
伽利略对科学的贡献无人能比。他常被人们（包括爱因斯坦）誉为是“现代科学之父”，当代物理学家霍金也说：“自然科学的诞生主要归功于伽利略。”伽利略的贡献是多方面的，这儿仅举力学方面一例：他做的落体实验证明了：物体下落的运动不是匀速运动，而是加速运动。如何在数学上来描述非匀速运动呢？这显然要涉及到如今我们熟知的“即时速度”的概念。有了微分（导数）之后，即时速度的意义不难理解，由此可知，伽利略的力学理论为微分理论的建立提出了实用意义上的“需求”。
伽利略晚景凄凉，被教会软禁在家，最后双目失明。但他直到临终前仍在从事科学研究。经常陪伴他的是他的最后的学生之一：以发明气压计而闻名的意大利物理学家、数学家托里拆利（Evangelista Torricelli, 1608～1647）。
托里拆利在研究伽利略的力学贡献时，意识到在抛物线上进行的两种运算（类似微分，积分）是互逆的。但他并未真正建立“微積分基本定理”。
后来，苏格兰数学家詹姆斯·格里高利（James Gregory，1638年－1675年）首先发表了该定理基本形式的几何证明，牛顿的老师，艾萨克·巴罗证明了该定理的一般形式。然后才是牛顿和莱布尼茨。最后是100多年之后的法国数学家柯西（Louis Cauchy，1789年 －1857年）将微积分理论，包括“基本定理”严格化。
实际上，发明微积分最早的先驱人物之一，不能漏掉法国（业余）数学家费马。
法国数学家费马（Fermat，Pierre de，1601-1665）是个很奇怪的学者，他是法院的法律顾问，算是个业余数学家。费马直到年近三十岁才认真研究数学，但成果累累，在数论、解析几何、概率论等方面都作出了重大贡献，因而被誉为“业余数学家之王”。他的特点是不怎么发表著作，经常是只在书的边缘处写下一些草率的注记，或者是偶然地将他的发现写信告诉他的朋友。现在看来，即使是这种草率注记中的三言两语，已经使世人震撼忙碌不已，要是费马正儿八经地专门研究数学，那还了得？例如，我们在前面“丢番图的墓志铭”中曾经介绍过的，后来被称之为“费马大定理”的猜想，就困惑了数学家们整整358年！
费马对发现微积分的功劳也不小。他与笛卡尔共同创立了解析几何，成为发明微积分的根基之一。他创造了作曲线切线的方法。费马在1629年，在牛頓降生前13年，萊布尼茨降生前17年，就构想并使用了微分学的主要思想，用于求曲线的极大极小值。也就是说，在微积分尚未被系统地发明出来之时，费马就已经掌握了“令导数为零，求出极点”的方法！这个事实说明，费马几乎已经自个儿发明出了微积分，只不过没有公布而已！总之，费马淡泊名利，不在乎发表文章，也未曾将他的微分思想总结成“定理”之类的，因此，费马这方面的贡献鲜为人知。费马的许多数学思想，都是在他死后，由儿子通过整理他的笔记和批注挖掘出来的。
费马研究光学时发现，光线总是按照时间最小的路线传播。这个原理，是几何光学的基础，可以从后来的惠更斯原理推导出来。事实上，费马原理现代版的更准确表述应该是：光线总是按照时间最小、或最大、或平稳点的路线传播。换言之，光线传播的经典路径是变分为0的路径。所以事实上，有关光线传播的费马原理应该算是变分法的最早例子，但在当时，人们尚未认识到这点，也没有进行详细的理论研究。费马提出的光学 “费马原理”，给后来变分法的研究以极大的启示。
牛顿和莱布尼兹两人的微积分风格不同，贡献各异。牛顿最大的贡献是把微积分用于物理上，构思了牛顿三大定律及万有引力定律。并用微积分方法，讨论了潮汐、岁差等现象。
莱布尼兹（Leibniz，1646-1716）最主要的贡献是对概念、方法、技巧等清楚的梳理，加上符号的运用。这些符号受到人们的喜爱，一直使用至今。
牛顿考虑微积分是为了解决动力学的问题，也就是说，运动中的物理量（变化的量，称之于流量）与时间的关系问题。他把他的这种和物理概念直接联系的数学理论叫做“ 流数术 ” ，实际上就是现代说的微积分。1665年5月20日，牛顿第一次在他的手稿上描述他的“流数术”，后人便把这一天作为微积分的诞生日。
牛顿认为任何运动都是存在于空间中，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，几何图形，包括线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切基本变量都是“流量”（用x、y、z表示），而将流量随时间的变化率，即速度等，称之为“流数”。流数用x、y、z上面加一点（或者x’,y’,z’）来表示。
因此，牛顿认为他的“流数术”要解决两类问题：
（1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。
（2）已知流数之间的关系，求流量间的关系，相当于积分，问题（1）的逆问题。
使用现在的微积分语言，牛顿的“流量”即变量，“流数”即导数。
如何计算流量和流数？牛顿从二项式展开的问题开始思考，并由此对“无穷”的概念有所突破。在这一点上，牛顿超越了前辈笛卡尔。笛卡尔的一些想法如今听起来颇为有趣：他认为人的大脑不是无穷的，所以不应该去思考与无穷有关的问题。但牛顿偏偏就通过思考二项式展开成无穷级数的问题而发现了微积分！
为此目的，牛顿定义了一个时间的无限小瞬“o”，作为流数术的基础。这个无限小的时间瞬将引起流量的瞬，由此便能计算流数，即两个“瞬”的比值。比如说：如果有两个流量：x和y，它们都随时间变化，并且，它们之间有如下关系：
x3 + xy + y3 = 0
现在，无限小的时间瞬“o”便将引起两个流量的无限小的瞬，分别记为x’o, y’o。然后，在上述公式中分别用x+x’o, y+y’o代替x和y，再减去原式便得到：
3x2x’o+3x(x’o)2+(x’o)3+xy’o+x’oy+x’y’o2+3y2y’o+3y(y’o)2+(y’o)3 = 0
两边同时除以时间瞬“o”，然后再消去其中含有“o”的项，整理之后便能得到两个流数x’和y’之间的关系（两个变量的变化速率之比）：
x’/y’ = -(3y2+x)/( 3x2+ y)
牛顿用上例所述的方法，从位置变量的关系导出速度变量间的关系，与我们现在用微积分得到的结果一致。牛顿后来在他的《自然哲学的数学原理》一书中如此描述瞬时速度：瞬时速度是指，当该物体移动到那一个非常时刻，既不是之前，也不是之后，流量间的最终比例。
牛顿发明了微积分，并用微积分的语言写下了牛顿三大定律和万有引力定律。以及后来又在微积分的基础上建立了数学物理方程、黎曼几何等数学分支。这些数学理论，不仅帮助牛顿和麦克斯韦等人，建立了宏伟辉煌的经典力学和经典电磁理论，并且推动了理论物理中量子力学、相对论、混沌理论等数次革命。回顾其间的这段漫长的历史过程，是既耐人寻味，又发人深思的。
与微积分一样，数学中很多思想的源泉都是来自于对物理的研究。因为数学和物理都是起源于人们对于世界的观察和认识，物理规律往往需要依靠数学的方法来进行定量描述。微积分的发现是科学界的重大历史事件，从此之后科学家有了一套得心应手的理论工具，微积分学方法的精确描述使得生物、化学、力学、电子、工程等等学科和技术都得以长足发展，而数学作为“科学的皇后”，价值观逐渐独立。因此，自从牛顿之后，数学和物理也开始奔向不同的目标，逐渐走向了它们各自不同的发展道路。
牛顿像是个上帝派来的魔法师，他右手点亮经典力学之火，左手握着微积分，数学和物理的殿堂从此有了光明。
·莱布尼茨的差和分
威廉·莱布尼茨（Wilhelm Leibniz， 1646年－1716年）是德国哲学家和数学家，他被誉为17世纪的亚里士多德，少见的通才。
莱布尼茨大学学习法律，21岁便活跃于政治舞台。26岁时，他作为外交官出使巴黎，结识了荷兰科学家惠更斯(C．Huygens，1629—1695)之后，对数学产生了浓厚的兴趣，才真正开始了他的数学研究。1673年到1677年他在巴黎呆了4年，是他在数学方面登峰造极，并发明微积分的年代。此外，莱布尼茨对二进制的发展也作出了贡献。
除了数学之外，莱布尼茨以哲学上的乐观主义而著名，对物理学、概率论、心理学、政治学、法学、神学、哲学、历史学等诸多领域都留下了著作，作出了贡献。
如今的人们追溯数学发展史，认为莱布尼茨和牛顿两人各自独立地发明了微积分。其证据之一是因为他们俩是从不同的思路创建微积分的：牛顿是为了解决力学问题，先从位置是时间的函数这点出发，澄清速度、位置、与时间之间的关系，发展了导数的概念，然后再有积分的概念。而莱布尼茨的想法则是反过来，是先有积分的概念，再有微分及导数的概念。
此外，牛顿发明微积分的目的是解决物理问题，他把微积分作为实用的工具。而莱布尼茨则是从几何，从数学本身来研究微积分。他认识到微积分的深远影响，因而尽量将概念表述清楚，也热衷于发明一套直观形象，又合理的微积分数学符号。
实际上，从现代学术界发明权的观点来看，应该是莱布尼茨被视为微积分的创建者，因为他的文章发表先于牛顿的，尽管牛顿有更早的笔记本记录，但那在现在的学术规范看来，是不算数的。
莱布尼茨发明微积分，是基于他研究“差和分”的基础上。差和分是什么呢？就是差分与和分，可以说是微分与积分的离散数学的对应物。
从莱布尼茨的《数学笔记》可以看出，他最初的微积分思想来源于对和分、差分，及它们的互逆性的研究。到巴黎之前，莱布尼茨曾经研究自然数平方构成的数列：
0，1，4，9，16，25，36，… （1）
将以上数列的每前后两项互相作减法运算，便形成一个差分数列：
1，3，5，7，9，11，… （2）
再将以上数列作同样类似的减法运算，形成另一个新的差分数列：
2，2，2，2，2，… （3）
用现代数学语言来描述以上过程，（2）是（1）的一阶差分数列，（3）是（1）的二阶差分数列，如果再作下去，可以看到：自然数平方序列的三阶差分是一个全部为0的数列。也就是说，到了（1）的三阶差分，序列中元素数值的信息已经消失殆尽。
从此例可见，差分运算的规律很简单，不过当时莱布尼茨考虑的，却是与差分反过来的逆过程：是否有可能从下往上用某种运算来恢复原来的序列呢？从（3）到（1）是显然不可能的，说明高阶差分运算失去了太多的信息，但从（2）到（1）是可能的：
将（2）中的所有可见的6个数字加起来，正好等于36，是（1）的第7个数字。依次类推，
（2）中的前面5个数字加起来，等于（1）的第6个数字；
前4个数字加起来，等于（1）的第5个数字；
前3个数字加起来，等于（1）的第4个数字；
前2个数字加起来，等于（1）的第3个数字；
…………
总结一下上面的规律：将（2）中的前面n个数字加起来，等于（1）的第n+1个数字。
换言之，（2）是（1）的差分，（1）是（2）的和分。和分与差分互为逆运算。
1673年到巴黎后，莱布尼茨对数学产生了极大的兴趣，他研究了费马、巴罗等人的著作，在攻读帕斯卡的著作时．他发现在帕斯卡三角形（见图1b）中，行于行之间的关系类似于他在1666年所研究的自然数平方数列的差分、和分关系。
于是，莱布尼茨继续探讨这种和与差之间的互逆性。用差分来表示“和”，很容易从图1a来理解：楼梯上升的总高度（和分），是等于所有阶梯层的高度之总和，而每一个阶梯层的高度，是两个高度之差（差分）。
图12-1.jpg
图1：差和分及帕斯卡三角形
从差和分到微积分的过渡，就是从有限到无限的过渡，从离散到连续的过渡。因为差和分对付的是离散的有限多个有限数，而微积分处理的是连续的无穷多个无穷小。试想，当图1a中的楼梯阶层差别变小，也就是说将楼梯分细，层次数目趋向无穷多时，差和分就趋向于微积分。
当年牛顿与莱布尼茨的微积分发明权之争，两人都是小肚鸡肠，并且，还将两人所在国家的国家荣耀、民族情绪牵扯其中。将两位科学家的个人之争，演变成演变成了英国科学界与德国科学界、乃至与整个欧洲大陆科学界的对抗。英国数学家不愿意接受莱布尼茨更为好用的符号系统，而要坚持使用牛顿的，实际上影响了英国数学研究的发展。
牛顿和莱布尼茨的微积分都不够严谨，之后被欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔等人精雕细刻，才系统化和严密化为后来的样子。
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